Círculos en triángulo rectángulo

Tenemos un triángulo rectángulo y dentro cuatro círculos congruentes tal y como se muestran en la siguiente figura. Encuentra el radio de los círculos.

Solución:

Inténtalo antes de mirar la solución. Si encuentras otra puede compartirla en comentarios. Ésta es una solución.triángulos_círculos_solución

Calculamos primero la hipotenusa del triángulo. {h^2=6^2+8^2} por lo que {h=10}.

Utilizamos ahora la fórmula del ángulo mitad ({\alpha} agudo): {\tan(\alpha/2)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\}.

Por lo que, {\displaystyle\frac r{8-7r}=\sqrt{\frac{1-{\displaystyle\frac8{10}}}{1+{\displaystyle\frac8{10}}}}\\} entonces, {\displaystyle\frac r{8-7r}=\displaystyle\frac13\\}.

Así, {r=\displaystyle\frac{4}{5}} cm.

¿Qué fracción representa del total?

Calcula qué fracción representa el área del cuadrado morado respecto al área del cuadrado grande, sabiendo que  los puntos en cada lado se han dispuesto de forma equidistante.

Solución:

Inténtalo antes de mirar esta solución. Si encuentras otra diferente escríbemela en usando los comentarios. Ésta es una de ellas.

cuadrado_solución

El área del cuadrado grande es {A_G=\left(3x\right)^2=27x^2} .

Para calcular el área del cuadrado morado necesitamos saber cuánto vale h en fución de x.

{h^2=x^2+x^2\Rightarrow h=\sqrt{2x^2}=\sqrt2x}

Por lo que el área de cuadrado morado es {A_m=h^2=2x^2}.

Así pues, la fracción que representa el área del cuadrado morado respecto del área del cuadrago grande es:

{\displaystyle\frac{A_m}{A_G}=\displaystyle\frac{2x^2}{27x^2}=\displaystyle\frac2{27}}

LOS RELOJES DE ARENA

Disponemos solamente para medir el tiempo de dos relojes de arena de ocho minutos y tres minutos respectivamente, y necesitamos calentar una comida que precisa exactamente trece minutos de cocción. ¿Sabrías inidar cómo se podrían medir el tiempo necesario con los recursos de que disponemos?

¡SUERTE! Y NO OLVIDES QUE ¡EL TIEMPO ES ORO!