LA CUADRATURA DE LAS LÚNULAS

Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos.

Para los antiguos griegos, encontrar la cuadratura equivalía a construir un cuadrado cuya área coincidiera con la de una figura dada utilizando una regla y un compás. Si tal construcción resulta posible, se dice que la figura es «cuadrable». Los griegos habían logrado la cuadratura de los polígonos, pero las formas curvas resultaban mucho más difíciles. De hecho, en principio parece poco probable que un objeto curvo pueda cuadrarse.

El matemático griego Hipócrates de Quíos, demostró cómo construir un cuadrado de igual área que una lúnula dada. Esta cuadratura de la lúnula es unas de las primeras demostraciones matemáticas que se conocen. Sólo cinco tipos de lúnula son «cuadrables». Hipócrates descubrió tres de ellas; las otras dos se hallaron en la década de 1770.

Bibliografía: “El Libro de las matemáticas” Cifford A. Pickover.

ACTIVIDAD:
Demuestra que el área conjunta de dos lúnulas amarillas asociadas con los lados de un triángulo rectángulo coincide con la del triángulo.

SOLUCIÓN:

  • L1 = área de la lúnula amarilla L1
  • L2 = área de la lúnula amarilla L2
  • S1 = área del sector circular S1
  • S2 = área del sector circular S2
  • SCa = semicírculo de radio a/2, (véase que es S1+S2+T)
  • SCb = semicírculo de radio b/2, (véase que es S2+L2)
  • SCc = semicírculo de radio c/2, (véase que es S1+L1)
  • T= área del triángulo

{\displaystyle  L1+L2=(SC_c-S1)+(SC_b-S2)\;= }

{\displaystyle  =(\frac\pi8c^2-S1)+(\frac\pi8b^2-S2) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(S1+S2) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(SC_a-T) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(\frac\pi8a^2-T)\;\text{(Como } a^2=b^2+c^2\text{)} }

{\displaystyle  =\frac\pi8a^2-(\frac\pi8a^2\;-T) }

{\displaystyle  =\frac\pi8a^2-\frac\pi8a^2\;+T\;=\;T }

{\displaystyle  \text{c.q.d} }

PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA

ZENÓN  (490 A.C.- 430 A.C.)

Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea (Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de los filósofos griegos más importantes de la época y de los más señalados en la escuela eleática) y, según varios escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.

 
 
Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es ilusorio.
Era costumbre suya mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente se valía de paradojas (expresión o situación que parece absurda y sin embargo es razonable), en las que viene a decir que todo movimiento es un engaño. Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra el movimiento, se revelan alpunto como paradojas y como auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa). Es como ponerse a discutir el azul del cielo.
 
Una de las más famosas paradojas es la de Aquiles y la tortuga.
 
PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA
Supongamos, decía Zenón, que Aquiles, que corre cinco veces más rápidamente que una tortuga, juega con ella una carrera dándole una ventaja de cinco kilómetros.
 
Cuando Aquiles recorra esos cinco kilómetros, la tortuga habrá avanzado un kilómetro. Cuando Aquiles cubra ese kilómetro que lo separa ahora de su contrincante, ésta habrá caminado a su vez un quinto de kilómetro, es decir, doscientos metros. Pero cuando Aquiles trate de alcanzarla corriendo esos doscientos metros, la tortuga habrá recorrido cuarenta metros. Y una vez que Aquiles salve esos cuarenta metros, con la esperanza de alcanzarla, la tortuga habrá avanzado ocho metros, y todavía le llevará ventaja. Una ventaja que disminuye sin cesar, pero que siempre está, porque cada vez que Aquiles recorre la distancia que lo separa de la tortuga, ésta, en ese lapso de tiempo, se habrá movido algo, por poco que sea, y en consecuencia, lleva siempre la delantera. Conclusión: Aquiles nunca la alcanza.
 
El planteamiento de Zenón era muy agudo y el asunto de Aquiles y la tortuga fue un dolor de cabeza para la matemática y la filosofía griegas. Dado que es muy fácil constatar que, no sólo Aquiles, sino cualquiera alcanza efectivamente a una tortuga, el razonamiento de Zenón tenía que esconder una equivocación. Pero ¿cuál? La respuesta tardó la friolera de veintiún siglos en llegar. Y la verdad es que para la matemática griega los problemas de Zenón eran  irresolubles porque involucraban sumas infinitas.
 
Efectivamente, los recorridos sucesivos de Aquiles son: cinco kilómetros, un kilómetro, doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, etc… y los correspondientes de la tortuga son un kilómetro, doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, un metro… Para calcular el recorrido total de uno y de otra, habría que sumar todos esos tramos sucesivos. Pero como son infinitos, la suma, aparentemente no puede hacerse.
 
Hubo que esperar hasta el siglo diecisiete, cuando el matemático escocés James Gregory (1638-1675) estudió por primera vez y de manera sistemática la  herramienta necesaria para terminar con el dilema de Zenón: las series convergentes, sumas que a pesar de tener un número infinito de términos, dan como resultado un número finito.
 
Por ejemplo, la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +…, puede hacerse, y da exactamente 1 (pues son términos de una progresión geométrica de razón 1/2).
 
Así pues, si sumáramos los infinitos tramos:
 
  • Los de Aquiles: 5 kilómetros + 1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros…)
 
  • Los de la  tortuga (1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros + 1,60 metros +…)
 
obtendríamos, para Aquiles 6,25 kilómetros, y para la pobre tortuga 1,25 kilómetros. Como Aquiles le había dado 5 kilómetros de ventaja, al recorrer uno 6,25 y la otra 1,25 kilómetros, coinciden en el mismo punto. Gracias a las series convergentes, la famosa paradoja de Zenón quedó aclarada y Aquiles alcanzó a la tortuga de una buena vez. Lo cual era justo, después de perseguirla durante más de dos mil años.
 
En el siguiente video puedes ver de forma gráfica cuándo y dónde alcanzará Aquiles a la Tortuga. Poniendo una velocidad cualquiera a ambos. Video: Aquiles y la Tortuga