El manuscrito de Bakhshali es la famosa recopilación matemática descubierta en 1881 en el interior de un cercado de piedra en el noroeste de la India; puede que su origen sea anterior al siglo III. Gran parte del manuscrito había sido destruido y, en el momento de su descubrimiento, sólo quedaban unas setenta hojas de la corteza de abedul. El manuscrito de Bakhshali recoge técnicas y reglas para resolver problemas de aritmética, álgebra y geometría, y proporciona una fórmula para calcular raíces cuadradas.
Se puede decir, que lo más importante en el manuscrito de Bakhshali es que encontramos el primer documento de matemáticas indias desprovisto de cualquier tipo de vínculo religioso.
A continuación una serie de problemas planteados en el texto.
ACTIVIDAD 1
Tiene ante usted, un grupo de veinte personas formado por hombres, mujeres y niños. Entre todos ganan veinte monedas. Cada hombre gana tres monedas, cada mujer una moneda y media, y cada niño la mitad de una moneda. ¿Cuál es el número de hombres, de mujeres y de niños? ¿Sabe usted hallar la solución?
ACTIVIDAD 2
Dos pajes son sirvientes de un rey. Por sus servicios uno obtiene 13/6 dinares por día y el otro 3/2. El primero le debe al segundo 10 dinares. Calcula y dime cuándo poseerán cantidades iguales.
ACTIVIDAD 3
Una persona posee siete caballos ‘asava’, otro nueve caballos ‘haya’ y otro diez camellos. Cada uno da dos animales, uno a cada persona. Quedando los tres con el mismo valor monetario. Encuentre el valor de cada animal y el valor total de los animales que posee cada persona.
La trigonometría es por tanto la que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos
Con un origen epistemológico griego, fue a finales del siglo XVI y comienzos del XVII cuando se aplicó por primera vez el nombre de “trigonometría” a esta parte de la matemática. El nombre aparecía en el título de una exposición por Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613) que se publicó por primera vez en el año 1595 como suplemento a un libro sobre “esféricas”.
TRIGONOMETRÍA EN EGIPTO
La trigonometría, al igual que cualquier otra rama de la matemática, no fue el resultado de la labor de un solo hombre ni de una sola nación. Ya los antiguos egipcios y babilonios conocían y habían utilizado propiedades o teoremas relativos a las razones entre los lados de triángulos semejantes, sin formularlos de una manera explícita, naturalmente. Dado que no nos encontramos con ningún concepto de medida de ángulos en el mundo prehelénico, tales estudios y consideraciones podrían quizás llamarse “trilaterometría” o medida de los polígonos de tres lados, mejor que trigonometría o medida de las distintas partes de un triángulo.
La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los papiros hacen referencia a fórmulas de medición necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes.
Los geómetras egipcios parecen estar en condiciones de comprender la semejanza y la proporcionalidad. En el siglo III a.C. dos figuras similares, aunque de dimensiones diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitación donde se encuentra la tumba de Seti I.
El problema 56 del Papiro Rhind presenta un interés especial porque contiene lo que podríamos llamar unos rudimentos de trigonometría y de una teoría de triángulos semejantes. En la construcción de las pirámides un problema esencial era el de mantener una pendiente uniforme en cada cara y la misma en las cuatro, y puede hacer sido este problema el que llevó a los egipcios a introducir un concepto equivalente al de la cotangente de un ángulo. En la tecnología moderna se acostumbra medir la pendiente de una línea recta por medio de la razón entre “la subida” y “el avance”; en Egipto, en cambio, se solía utilizar la inversa de esta razón, denominándola por la palabra “seqt” y que significa la separación horizontal de un recta oblicua del eje vertical por unidad de variación en la altura. Así pues, el seqt correspondía, salvo en lo que se refiere a las unidades de medida, al “desplome” que hoy usan los arquitectos para medir la pendiente hacia el interior de un muro.
TRIGONOMETRÍA EN BABILONIA
En 1936 se desenterró una colección de tablillas procedentes de Susa, a unos trescientos kilómetros al este de Babilonia, y algunas de estas tablillas de Susa, siguiendo la persistente tendencia mesopotámica a hacer listas y tablas, compara áreas y los cuadrados de los lados de los polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y siete lados.
Hay división de opiniones acerca de si los babilonios estaban familiarizados o no con el concepto de semejanza de figuras, aunque parece muy probable que sí lo estuviesen. La semejanza entre todas las circunferencias parece haber sido dada por descontado en Mesopotamia, como lo fue también en Egipto, y los muchos problemas sobre triángulo que aparecen en las tablillas cuneiformes parecen sugerir un cierto concepto de semejanza. En el museo de Bagdad se conserva la tablilla en la que está dibujado un triángulo rectángulo ABC de lados a=60, b=45 y c=75, subdividido en cuatro triángulos rectángulo menores.
En la tablilla Plimpton 322es probable que esté relacionada con el problema de medir áreas de cuadrados o lados de triángulos rectángulos.
Si se interpretan los números que aparecen en la segunda y tercera columna (de izquierda a derecha) como los lados a y c de un triángulo rectángulo ABC (C=90 grados), respectivamente, entonces la primera columna, indica en cada caso el cuadrado de la razón de c y b (c^2/b^2). Así pues, la columna del extremo izquierdo consiste en la tabla de valores de sec^2(A), aunque esto no suponga naturalmente que los babilonios conocieran nuestro concepto de secante de un ángulo. Por otra parte, Si sustituimos la primera coma de los números de la primera columna por un punto y coma, es evidente que los números de esta columna van disminuyendo de una manera continua de arriba abajo. Además, el primer número es muy aproximadamente sec^2(45) y el último sec^2(31) mientras que los números intermedios se aproximan a los valores de sec^2(A) para valores de A que van disminuyendo grado a grado desde 45 a 31.
Matemáticas Almudena 