Which area is larger, green or blue?

Solución:
1) Hallemos primero el área del rectágulo verde, que está dividido en dos cuadrados cuyas diagonales son el radio de la semicircunferencia. Expresemos primero el lado en función del radio.

Cuadrado+verde.png

{\displaystyle R^2=x^2+x^2\Rightarrow R^2=2x^2\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}R}2}

{\displaystyle \text{ \'Area del cuadrado verde }\Rightarrow x^2=\left(\frac{\sqrt{2}R}2\right)^2=\frac{R^2}2}

{\displaystyle \text{ \'Area del rect\'angulo verde }\Rightarrow 2\frac{R^2}2=R^2}

2) Hallemos ahora el área del cuadrado azul. Expresemos primero el lado del cuadrado en función del radio de la semicircunferencia.

cuadrado+azul.png

{\displaystyle R^2=x^2+\left(\frac x2\right)^2=\frac{5x^2}4\Rightarrow x=\frac{2R}{\sqrt5}}

{\displaystyle \text{ \'Area del cuadrado azul}\Rightarrow \left(\frac{2R}{\sqrt5}\right)^2=\frac{4R^2}5}

Por tanto, el área de la figura verde es R2 y el área de la figura azul es {\displaystyle \frac{4R^2}5} . Como 1>4/5, podemos concluir que el área de la figura verde es mayor que el de la figura azul.

EL ACERTIJO DE LA CUERDA QUE RODEA LA TIERRA

Supóngase que una cuerda ciñe un balón de baloncesto. ¿Cuánto se debería alargar la longitud de la cuerda para lograr que la distancia entre ella y la superficie del balón fuera de un decímetro en todos sus puntos? Supóngase ahora que  una cuerda rodea una esfera del tamaño de la Tierra ciñéndose por el ecuador (Unos 40 000 km de longitud aproximadamente). ¿Cuánto debería alargar ahora la longitud de la cuerda para que la distancia entre ella y la superficie fuera de 1 decímetro a lo largo de todo el ecuador?

La respuesta no deja de ser sorprendente. En cualquier caso sólo hay que añadir 2π dm de cuerda, esto es, aproximadamente 6,28 dm.

 La demostración es muy sencilla. Si R es el radio original, la longitud de la circunferencia es 2πR. Si queremos que ahora se separe de la esfera 1 dm, el radio que tendremos en este momento es R + 1. Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es 2π(R + 1). Si restamos ambas longitudes:

2π(R + 1) – 2πR = 2πR + 2π – 2πR = 2π.

LOS RELOJES DE ARENA

Disponemos solamente para medir el tiempo de dos relojes de arena de ocho minutos y tres minutos respectivamente, y necesitamos calentar una comida que precisa exactamente trece minutos de cocción. ¿Sabrías inidar cómo se podrían medir el tiempo necesario con los recursos de que disponemos?

¡SUERTE! Y NO OLVIDES QUE ¡EL TIEMPO ES ORO!