Círculos en triángulo rectángulo

Tenemos un triángulo rectángulo y dentro cuatro círculos congruentes tal y como se muestran en la siguiente figura. Encuentra el radio de los círculos.

Solución:

Inténtalo antes de mirar la solución. Si encuentras otra puede compartirla en comentarios. Ésta es una solución.triángulos_círculos_solución

Calculamos primero la hipotenusa del triángulo. {h^2=6^2+8^2} por lo que {h=10}.

Utilizamos ahora la fórmula del ángulo mitad ({\alpha} agudo): {\tan(\alpha/2)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\}.

Por lo que, {\displaystyle\frac r{8-7r}=\sqrt{\frac{1-{\displaystyle\frac8{10}}}{1+{\displaystyle\frac8{10}}}}\\} entonces, {\displaystyle\frac r{8-7r}=\displaystyle\frac13\\}.

Así, {r=\displaystyle\frac{4}{5}} cm.

Cuadrado y círculo

Calcula el lado del cuadrado y el radio de círculo.

Solución:

Inténtalo primero. Si encuentras otra solución a la dada, escríbela en comentarios. Ésta es una de ellas.

Observando el dibujo  tenemos que:

{r=x+1}

{r^2=(r-2)^2+x^2}.

Resolviendo este pequeño sistema de ecuaciones se concluye que tiene las soluciones {r=1, x=0} (solución que no tiene sentido) y {r=4, x=5}.

Por lo tanto, la solución de a nuestro problema es r=4 y x=5.

Así pues, el radio de la circunferencia es 4 cm y el lado del cuadrado {l=2x=10 cm}

¿Qué fracción representa del total?

Calcula qué fracción representa el área del cuadrado morado respecto al área del cuadrado grande, sabiendo que  los puntos en cada lado se han dispuesto de forma equidistante.

Solución:

Inténtalo antes de mirar esta solución. Si encuentras otra diferente escríbemela en usando los comentarios. Ésta es una de ellas.

cuadrado_solución

El área del cuadrado grande es {A_G=\left(3x\right)^2=27x^2} .

Para calcular el área del cuadrado morado necesitamos saber cuánto vale h en fución de x.

{h^2=x^2+x^2\Rightarrow h=\sqrt{2x^2}=\sqrt2x}

Por lo que el área de cuadrado morado es {A_m=h^2=2x^2}.

Así pues, la fracción que representa el área del cuadrado morado respecto del área del cuadrago grande es:

{\displaystyle\frac{A_m}{A_G}=\displaystyle\frac{2x^2}{27x^2}=\displaystyle\frac2{27}}

Which area is larger, green or blue?

Solución:
1) Hallemos primero el área del rectágulo verde, que está dividido en dos cuadrados cuyas diagonales son el radio de la semicircunferencia. Expresemos primero el lado en función del radio.

Cuadrado+verde.png

{\displaystyle R^2=x^2+x^2\Rightarrow R^2=2x^2\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}R}2}

{\displaystyle \text{ \'Area del cuadrado verde }\Rightarrow x^2=\left(\frac{\sqrt{2}R}2\right)^2=\frac{R^2}2}

{\displaystyle \text{ \'Area del rect\'angulo verde }\Rightarrow 2\frac{R^2}2=R^2}

2) Hallemos ahora el área del cuadrado azul. Expresemos primero el lado del cuadrado en función del radio de la semicircunferencia.

cuadrado+azul.png

{\displaystyle R^2=x^2+\left(\frac x2\right)^2=\frac{5x^2}4\Rightarrow x=\frac{2R}{\sqrt5}}

{\displaystyle \text{ \'Area del cuadrado azul}\Rightarrow \left(\frac{2R}{\sqrt5}\right)^2=\frac{4R^2}5}

Por tanto, el área de la figura verde es R2 y el área de la figura azul es {\displaystyle \frac{4R^2}5} . Como 1>4/5, podemos concluir que el área de la figura verde es mayor que el de la figura azul.

LA CUADRATURA DE LAS LÚNULAS

Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos.

Para los antiguos griegos, encontrar la cuadratura equivalía a construir un cuadrado cuya área coincidiera con la de una figura dada utilizando una regla y un compás. Si tal construcción resulta posible, se dice que la figura es «cuadrable». Los griegos habían logrado la cuadratura de los polígonos, pero las formas curvas resultaban mucho más difíciles. De hecho, en principio parece poco probable que un objeto curvo pueda cuadrarse.

El matemático griego Hipócrates de Quíos, demostró cómo construir un cuadrado de igual área que una lúnula dada. Esta cuadratura de la lúnula es unas de las primeras demostraciones matemáticas que se conocen. Sólo cinco tipos de lúnula son «cuadrables». Hipócrates descubrió tres de ellas; las otras dos se hallaron en la década de 1770.

Bibliografía: “El Libro de las matemáticas” Cifford A. Pickover.

ACTIVIDAD:
Demuestra que el área conjunta de dos lúnulas amarillas asociadas con los lados de un triángulo rectángulo coincide con la del triángulo.

SOLUCIÓN:

  • L1 = área de la lúnula amarilla L1
  • L2 = área de la lúnula amarilla L2
  • S1 = área del sector circular S1
  • S2 = área del sector circular S2
  • SCa = semicírculo de radio a/2, (véase que es S1+S2+T)
  • SCb = semicírculo de radio b/2, (véase que es S2+L2)
  • SCc = semicírculo de radio c/2, (véase que es S1+L1)
  • T= área del triángulo

{\displaystyle  L1+L2=(SC_c-S1)+(SC_b-S2)\;= }

{\displaystyle  =(\frac\pi8c^2-S1)+(\frac\pi8b^2-S2) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(S1+S2) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(SC_a-T) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(\frac\pi8a^2-T)\;\text{(Como } a^2=b^2+c^2\text{)} }

{\displaystyle  =\frac\pi8a^2-(\frac\pi8a^2\;-T) }

{\displaystyle  =\frac\pi8a^2-\frac\pi8a^2\;+T\;=\;T }

{\displaystyle  \text{c.q.d} }