PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA

ZENÓN  (490 A.C.- 430 A.C.)

Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea (Italia meridional). Fue discípulo de Parménides (uno de los filósofos griegos más importantes de la época y de los más señalados en la escuela eleática) y, según varios escritores, enseñó en Atenas durante algún tiempo.

 
 
Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es ilusorio.
Era costumbre suya mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente se valía de paradojas (expresión o situación que parece absurda y sin embargo es razonable), en las que viene a decir que todo movimiento es un engaño. Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra el movimiento, se revelan alpunto como paradojas y como auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa). Es como ponerse a discutir el azul del cielo.
 
Una de las más famosas paradojas es la de Aquiles y la tortuga.
 
PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA
Supongamos, decía Zenón, que Aquiles, que corre cinco veces más rápidamente que una tortuga, juega con ella una carrera dándole una ventaja de cinco kilómetros.
 
Cuando Aquiles recorra esos cinco kilómetros, la tortuga habrá avanzado un kilómetro. Cuando Aquiles cubra ese kilómetro que lo separa ahora de su contrincante, ésta habrá caminado a su vez un quinto de kilómetro, es decir, doscientos metros. Pero cuando Aquiles trate de alcanzarla corriendo esos doscientos metros, la tortuga habrá recorrido cuarenta metros. Y una vez que Aquiles salve esos cuarenta metros, con la esperanza de alcanzarla, la tortuga habrá avanzado ocho metros, y todavía le llevará ventaja. Una ventaja que disminuye sin cesar, pero que siempre está, porque cada vez que Aquiles recorre la distancia que lo separa de la tortuga, ésta, en ese lapso de tiempo, se habrá movido algo, por poco que sea, y en consecuencia, lleva siempre la delantera. Conclusión: Aquiles nunca la alcanza.
 
El planteamiento de Zenón era muy agudo y el asunto de Aquiles y la tortuga fue un dolor de cabeza para la matemática y la filosofía griegas. Dado que es muy fácil constatar que, no sólo Aquiles, sino cualquiera alcanza efectivamente a una tortuga, el razonamiento de Zenón tenía que esconder una equivocación. Pero ¿cuál? La respuesta tardó la friolera de veintiún siglos en llegar. Y la verdad es que para la matemática griega los problemas de Zenón eran  irresolubles porque involucraban sumas infinitas.
 
Efectivamente, los recorridos sucesivos de Aquiles son: cinco kilómetros, un kilómetro, doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, etc… y los correspondientes de la tortuga son un kilómetro, doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, un metro… Para calcular el recorrido total de uno y de otra, habría que sumar todos esos tramos sucesivos. Pero como son infinitos, la suma, aparentemente no puede hacerse.
 
Hubo que esperar hasta el siglo diecisiete, cuando el matemático escocés James Gregory (1638-1675) estudió por primera vez y de manera sistemática la  herramienta necesaria para terminar con el dilema de Zenón: las series convergentes, sumas que a pesar de tener un número infinito de términos, dan como resultado un número finito.
 
Por ejemplo, la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +…, puede hacerse, y da exactamente 1 (pues son términos de una progresión geométrica de razón 1/2).
 
Así pues, si sumáramos los infinitos tramos:
 
  • Los de Aquiles: 5 kilómetros + 1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros…)
 
  • Los de la  tortuga (1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros + 1,60 metros +…)
 
obtendríamos, para Aquiles 6,25 kilómetros, y para la pobre tortuga 1,25 kilómetros. Como Aquiles le había dado 5 kilómetros de ventaja, al recorrer uno 6,25 y la otra 1,25 kilómetros, coinciden en el mismo punto. Gracias a las series convergentes, la famosa paradoja de Zenón quedó aclarada y Aquiles alcanzó a la tortuga de una buena vez. Lo cual era justo, después de perseguirla durante más de dos mil años.
 
En el siguiente video puedes ver de forma gráfica cuándo y dónde alcanzará Aquiles a la Tortuga. Poniendo una velocidad cualquiera a ambos. Video: Aquiles y la Tortuga
 

Subastamos un sello

Entramos en el mundo de las sucesiones con el siguiente problema. ¿Serás capáz de darle solución?
 
“En cierta web especializada se vendía un sello del año 1900 por 35£, uno de 1880 por 80£, uno de 1860 por 260£ y uno de 1840 por 1520£. Ponía a subasta, además, un sello de 1820 de esas características.
 

¿Cuánto se debería pagar por este sello?”