Círculos en triángulo rectángulo

Tenemos un triángulo rectángulo y dentro cuatro círculos congruentes tal y como se muestran en la siguiente figura. Encuentra el radio de los círculos.

Solución:

Inténtalo antes de mirar la solución. Si encuentras otra puede compartirla en comentarios. Ésta es una solución.triángulos_círculos_solución

Calculamos primero la hipotenusa del triángulo. {h^2=6^2+8^2} por lo que {h=10}.

Utilizamos ahora la fórmula del ángulo mitad ({\alpha} agudo): {\tan(\alpha/2)=\sqrt{\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\}.

Por lo que, {\displaystyle\frac r{8-7r}=\sqrt{\frac{1-{\displaystyle\frac8{10}}}{1+{\displaystyle\frac8{10}}}}\\} entonces, {\displaystyle\frac r{8-7r}=\displaystyle\frac13\\}.

Así, {r=\displaystyle\frac{4}{5}} cm.

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