LA CUADRATURA DE LAS LÚNULAS

Una lúnula es una superficie plana en forma de luna creciente, limitada por dos arcos de circunferencia cóncavos.

Para los antiguos griegos, encontrar la cuadratura equivalía a construir un cuadrado cuya área coincidiera con la de una figura dada utilizando una regla y un compás. Si tal construcción resulta posible, se dice que la figura es «cuadrable». Los griegos habían logrado la cuadratura de los polígonos, pero las formas curvas resultaban mucho más difíciles. De hecho, en principio parece poco probable que un objeto curvo pueda cuadrarse.

El matemático griego Hipócrates de Quíos, demostró cómo construir un cuadrado de igual área que una lúnula dada. Esta cuadratura de la lúnula es unas de las primeras demostraciones matemáticas que se conocen. Sólo cinco tipos de lúnula son «cuadrables». Hipócrates descubrió tres de ellas; las otras dos se hallaron en la década de 1770.

Bibliografía: “El Libro de las matemáticas” Cifford A. Pickover.

ACTIVIDAD:
Demuestra que el área conjunta de dos lúnulas amarillas asociadas con los lados de un triángulo rectángulo coincide con la del triángulo.

SOLUCIÓN:

  • L1 = área de la lúnula amarilla L1
  • L2 = área de la lúnula amarilla L2
  • S1 = área del sector circular S1
  • S2 = área del sector circular S2
  • SCa = semicírculo de radio a/2, (véase que es S1+S2+T)
  • SCb = semicírculo de radio b/2, (véase que es S2+L2)
  • SCc = semicírculo de radio c/2, (véase que es S1+L1)
  • T= área del triángulo

{\displaystyle  L1+L2=(SC_c-S1)+(SC_b-S2)\;= }

{\displaystyle  =(\frac\pi8c^2-S1)+(\frac\pi8b^2-S2) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(S1+S2) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(SC_a-T) }

{\displaystyle  =\frac\pi8c^2+\frac\pi8b^2-(\frac\pi8a^2-T)\;\text{(Como } a^2=b^2+c^2\text{)} }

{\displaystyle  =\frac\pi8a^2-(\frac\pi8a^2\;-T) }

{\displaystyle  =\frac\pi8a^2-\frac\pi8a^2\;+T\;=\;T }

{\displaystyle  \text{c.q.d} }

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Salir /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Salir /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Salir /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Salir /  Cambiar )

Conectando a %s